Vor einer Woche haben wir die Leser:innen des Blogs eingeladen an einem Spiel teilzunehmen. Die Aufgabe bestand darin eine Zahl zwischen 0 und 100 so zu wählen, dass sie möglichst nah an zwei Dritteln des Durchschnitts aller abgegebenen Zahlen liegt. Wäre der Durchschnitt aller Zahlen also 30 gewinnt die Person, die die Zahl 20 (= 30 x 2/3) gewählt hat.

Dieses einfache Spiel gibt nicht nur einen Einblick in die Denkschritte der Teilnehmenden, sondern erlaubt auch einen Blick auf die Einschätzung der anderen Mitspieler:innen. Denn wer dieses Spiel gewinnen möchte, sollte den anderen buchstäblich einen Schritt voraus seien. Die Spielregeln legen nahe, sich zunächst Gedanken über den möglichen Durchschnitt zu machen und anschließend die eigene Zahl bei zwei Dritteln dieses Durchschnitts zu wählen.

Schritt -1

Demnach ist es wenig aussichtsreich eine Zahl zu wählen, die größer als 66 ist. Denn selbst wenn alle anderen Mitspieler:innen 100 wählen, kann die Gewinnzahl nicht größer als 2/3 von 100 sein.

Schritt 0

Gehen wir zunächst davon aus, dass alle anderen Teilnehmenden völlig zufällig eine Zahl zwischen 0 und 100 wählen. In diesem Fall sollte der Durchschnitt bzw. der Erwartungswert bei etwa 50 liegen. Folglich könnte man das Spiel gewinnen, indem man selbst gerade 2/3 dieses Durchschnitts wählt. Da nur ganze Zahlen gewählt werden können, wäre das die Zahl 33.

Schritt 1

Wenn nun aber alle Spieler:innen die gleiche Überlegung anstellen, verschiebt sich natürlich der Durchschnitt nach unten. Der neue erwartete Durchschnitt entspricht genau der Gewinnzahl aus dem vorherigen Schritt, also 33. Dementsprechend wäre 22 die logische Wahl für die eigene Zahl.

Schritt 2

Gehen wir nun wiederum davon aus, dass alle anderen ebenso denken, würde sich der Durchschnitt ein weiteres Mal verschieben. Diesmal zur Zahl 22. Folglich wären die eigenen Gewinnchancen nun mit der Zahl 15 besonders groß.

Schritt 3 bis unendlich

Führt man diese Überlegung fort, wird deutlich, dass der Durchschnitt aller Zahlen - und damit auch die potenzielle Gewinnzahl - mit jedem Schritt kleiner wird. Bei unendlich vielen Wiederholungen dieser Prozedur nähern sich beide Zahlen schließlich 0.

Rationalität und Wirklichkeit

In einer vollständig rationalen Welt sollten letztlich alle Teilnehmenden 0 wählen. Denn in dieser Welt würde nicht nur jedes Individuum unendlich viele Denkschritte vollziehen, sondern auch von den Mitspieler:innen erwarten, dass diese ebenso entscheiden. Letztlich würde also nach den Spielregeln der Zufall die Gewinnerin oder den Gewinner bestimmen.

Da aber niemand ernsthaft annehmen würden, dass wir in einer solchen Welt leben, hängt der eigene Erfolg in diesem Spiel in erster Linie von der Genauigkeit der Einschätzung der anderen Teilnehmenden ab. Diese Einschätzung wird dadurch erschwert, dass ein Teil der Mitspieler:innen möglicherweise gar nicht lange überlegen möchte, sondern intuitiv eine Zahl wählt. Bei einer solchen intuitiven Wahl werden in der Regel einige Zahlenbereiche bevorzugt, während andere überhaupt nicht berücksichtigt werden. Lieblingszahlen, der eigene Geburtstag oder „runde“ Zahlen werden dann mit größerer Wahrscheinlichkeit gewählt.

Außerdem lassen sich zahlreiche weitere Faktoren – etwa Alter, beruflicher Hintergrund oder regelmäßiges Lottospielen – finden, die einen Einfluss auf die Wahl der anderen Teilnehmenden und damit auf die eigene Entscheidung haben können.